【PEP】Matemática do Ensino Fundamental – 7º Ano, Volume 1: A transição lógica de "números" para "expressões"

No Ensino Fundamental I, aprendemos a representar números com letras e descobrimos que podemos usar letras ou expressões com letras para representar números e relações de quantidade. Passar do cálculo com números concretos para a representação de padrões com letras é um grande salto no raciocínio matemático.

Por que essa transição é necessária?

Na Ferrovia Qinghai-Tibete, o trem percorre o trecho de solo congelado a uma velocidade de $v \text{ km/h}$. Se calcularmos a distância percorrida em tempos específicos:

em $2\text{h}$, a distância é $2v \text{ km}$
em $3\text{h}$, a distância é $3v \text{ km}$
Quando usamos $t$ para representar o tempo, a distância é $vt$.

É exatamente esse o poder da matemática:A introdução da letra $t$ nos levou do cálculo da "distância em um tempo específico" à descrição da "regra geral entre qualquer tempo e distância". Ao usar letras para representar números, as letras podem participar das operações assim como os números, e podemos expressar relações de quantidade de forma simples e clara por meio de expressões.

Do "número estático" à "expressão dinâmica": essa transformação é a base cognitiva para o estudo posterior de operações com expressões algébricas e modelagem com funções. Ela nos permite não apenas resolver um problema, mas toda uma classe de problemas.

QUESTÃO 1

No exemplo da Ferrovia Qinghai-Tibete, se a velocidade do trem for $100\text{ km/h}$, qual é a distância percorrida em $th$?

$100 + t$

$100/t$

$100t$

$t/100$

QUESTÃO 2

Sobre "usar letras para representar números", qual das afirmações a seguir está errada?

As letras podem participar das operações assim como os números

As letras só podem representar números positivos

As letras podem representar relações de quantidade de forma simples e clara

As letras podem representar propriedades operatórias (como $a+b=b+a$)

QUESTÃO 3

Um produto custa $4.8$ yuans por pacote e, em um mês, foram vendidos $m$ pacotes. Como representar a receita total?

$4.8 + m$ yuans

$4.8m$ yuans

$m/4.8$ yuans

$4.8^m$ yuans

QUESTÃO 4

Qual é o coeficiente do monômio $-a^2h$?

$0$

$1$

$-1$

$a$

QUESTÃO 5

Qual é o grau do monômio $\f\frac{2}{3}\pi r^3$?

$3$

$4$

$2$

$1$

QUESTÃO 6

Qual é o resultado de $100t - 252t$?

$152t$

$-152t$

$-352t$

$-152$

QUESTÃO 7

Em um número de dois algarismos, o algarismo das unidades é $a$ e o das dezenas é $b$. Como representar esse número de dois algarismos?

$ab$

$a + b$

$10b + a$

$10a + b$

QUESTÃO 8

Em quais dos seguintes pares de monômios os termos são semelhantes?

$x^2y$ e $xy^2$

$3ab$ e $-ba$

$a^2$ e $b^2$

$2x$ e $2$

QUESTÃO 9

Elimine os parênteses: $-5(1 - \f\frac{1}{5}x) = $

$-5 - x$

$-5 + x$

$5 - x$

$-5 + \f\frac{1}{5}x$

QUESTÃO 10

De acordo com a classificação dos números racionais, a qual dos grupos a seguir pertence o $0$?

Números positivos

Números negativos

Números inteiros

Frações

Desafio da transição lógica: da classificação à modelagem

Uso integrado de números racionais e expressões algébricas

Antes de estudar expressões algébricas, precisamos ter uma classificação clara dos "números" e saber usar com flexibilidade as "expressões" para descrever processos dinâmicos. Complete as tarefas avançadas a seguir.

Tarefa 1

Classifique os seguintes números racionais nas categorias correspondentes: $15, -\f\frac{3}{8}, 0, 0.15, -30, -12.8, \f\frac{22}{5}, +20, -60$.

Resultado da classificação:

Números positivos: $\{15, 0.15, \f\frac{22}{5}, +20, \dots\}$
Números negativos: $\{-\f\frac{3}{8}, -30, -12.8, -60, \dots\}$
Números inteiros: $\{15, 0, -30, +20, -60, \dots\}$
Frações: $\{-\f\frac{3}{8}, 0.15, -12.8, \f\frac{22}{5}, \dots\}$

Ponto-chave da lógica:Observe a particularidade do $0$: ele não é positivo nem negativo, mas pertence aos números inteiros.

Tarefa 2

Desdobramento do caso da Ferrovia Qinghai-Tibete: se a velocidade do trem no trecho de solo congelado é $100\text{ km/h}$ e no trecho de solo não congelado é $120\text{ km/h}$. O trem percorre o trecho de solo congelado em $t\text{ h}$ e o tempo no trecho de solo não congelado é $0.5\text{ h}$ maior que o do trecho de solo congelado. Escreva uma expressão que represente a distância percorrida a mais no trecho de solo não congelado em relação ao de solo congelado e simplifique.

Passos da resolução:
1. Distância no trecho de solo congelado: $100t$ km.
2. Tempo no trecho de solo não congelado: $(t + 0.5)$ h.
3. Distância no trecho de solo não congelado: $120(t + 0.5)$ km.
4. Diferença de distância: $120(t + 0.5) - 100t$.
5. Simplificação: $120t + 60 - 100t = 20t + 60$ km.
Conclusão:O trecho de solo não congelado é percorrido $(20t + 60)$ km a mais que o trecho de solo congelado. Isso mostra como usar expressões com letras para descrever relações complexas de forma simples e clara.